Funkcja Kwadratowa

Wszystko, co musisz wiedzieć o parabolach!

Funkcja kwadratowa - omówienie

Funkcjakwadratowa to jedno z podstawowych zagadnień matematycznych, które pojawiają się w wielu
dziedzinach nauki, takich jak fizyka, ekonomia czy inżynieria. Przeanalizujemy dokładnie
wszystkie jej elementy oraz sposób ich obliczania.

Co to jest funkcja kwadratowa?

Funkcja kwadratowa to funkcja matematyczna postaci:

y = ax² + bx + c

gdzie:

a - określa kształt i kierunek paraboli
b - wpływa na przesunięcie funkcji
c - to punkt przecięcia wykresu z osią
a, b, c ε ℝ

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola.

Warunek: a≠ 0 – inaczej funkcja nie byłaby kwadratowa, tylko liniowa.

Wykres funkcji kwadratowej – Parabola

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Jej wygląd zależy od wartości współczynnika a:

Jeśli a > 0 – parabola jest skierowana ramionami do góry (ma minimum)
Jeśli a < 0 – parabola jest skierowana ramionami do dołu (ma maksimum)

Wpływ wartości a na szerokość paraboli:

Jeśli a jest duże, parabola jest wąska (np. y = 5x²)
Jeśli a jest małe, parabola jest szeroka (np. y = 0.5x²)

WAŻNE: Jeśli b=0, to wykres jest symetryczny względem osi y.

Kluczowe elementy funkcji kwadratowej

Miejsca zerowe

Punkty przecięcia wykresu z osią x, czyli miejsca, gdzie y = 0

Gdzie:

Δ > 0 - dwa miejsca zerowe
Δ = 0 - jedno miejsce zerowe
Δ < 0 - brak miejsc zerowych

Wzory na miejsca zerowe gdy:

Δ > 0:
x₁ = ( -b - √ Δ ) / 2a

x₂ = ( -b + √ Δ ) / 2a

Δ = 0:
x₁ = x₂= ( -b ) / 2a

Δ < 0
BRAK

gdy delta jest mniejsza niż zero wtedy parabola nie ma miejsc zerowych

Delta (Δ)

Delta to wyrażenie:

Δ = b² - 4ac

Decyduje o liczbie miejsc zerowych funkcji.

Wierzchołek paraboli

Wierzchołek to najniższy lub najwyższy punkt paraboli (w zależności od wartości a).
Jego współrzędne obliczamy ze wzorów:

x_w = -b / 2a

y_w = a x_w² + b x_w + c

Punkt ten jest także osią symetrii wykresu.

Punkt (x_w, y_w) to minimum ( gdy a > 0 ) lub maksimum (gdy a < 0 )

Ramiona paraboli

a > 0 - parabola skierowana do góry ( uśmiech )
a < 0 - parabola skierowana w dół ( smutek )

Oś symetrii paraboli

Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej to prosta pionowa o równaniu:

x = -b/2a

Dzieli ona parabolę na dwie symetryczne części.

Postać ogólna funkcji kwadratowej

Najczęściej spotykaną i podstawową postacią funkcji kwadratowej jest postać ogólna:

y = ax² + bx + c

W tej postaci:

a - współczynnik kierunkowy decydujący o kształcie paraboli

b - współczynnik liniowy wpływający na przesunięcie paraboli

c - wyraz wolny określający punkt przecięcia paraboli z osią y

Właściwości tej postaci:

a > 0 - ramiona skierowane do góry
a < 0 - ramiona skierowane do dołu
Współczynnik c to miejsce przecięcia wykresu z osią y, czyli punkt (0, c)
Miejsca zerowe funkcji obliczamy, rozwiązując równadzie kwadratowe:

ax² + bx + c = 0

Przy użyciu wzorów na miejsca zerowe oraz deltę

Kiedy stosujemy postać ogólną?

znamy wsółczynnik funkcji i chcemy wyznaczyć miejsca zerowe oraz wartość w punkcie 0

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna pozwala w prosty sposób określić współrzędne wierzchołka paraboli. Wyraża się wzorem:

y = a ( x - p )² + q

gdzie:

q - współrzędna x wierzchołka paraboli
p - współrzędna y wierzchołka paraboli

Właściwości tej postaci:

Wierzchołek paraboli to punkt: W = ( p, q )
Jeśli a > 0 to q to minimum funkcji
Jeśli a < 0 to q to maksimum funkcji

Jak przekształcić postać ogólną na kanoniczną ??

Aby przekształcić funkcję z postaci ogólnej y = ax² + bx + c do kanonicznej, korzystamy ze wzorów:

p = -b / 2a

q = -Δ / 4a

Kiedy stosujemy postać kanoniczną??

Gdy chcemy łatwo odczytać współrzędne wierzchołka paraboli
Gdy interesuje nas punkt maksymalny lub minimalny funkcji

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej pozwala bezpośrednio odczytać miejsca zerowe funkcji. Wygląda następująco:

y = a ( x - x₁ ) ( x - x₂ )

gdzie:

x₁, x₂ - miejsca zerowe funkcji, czyli rozwiązania róznania ax² + bx + c = 0

Właściwości tej postaci:

Współczynnik x₁, x₂ to miejsca zerowe, więc funkcja przecięcia oś x w punktach ( x_{1, 0 ) i ( x₂, 0 )}
Jeśli Δ = 0, to postać iloczynowa ma formę:

y = a ( x - x₀ )²

co oznacza, że parabola ma jedno miejsce zerowe ( styczność do osi x )

Jak przekształcić postać ogólną do iloczynowej??

Aby przekształcić z postaci ogólnej y = ax² + bx + c do iloczynowaj korzystamy ze wzoru na miejsca zerowe oraz wzoru postaci iloczynowej:

y = a ( x - x₁ ) ( x - x₂ )

Porównanie postani funkcji kwadratowej

Postać	Wzó	Kiedy stosować
Ogólna	y = ax² + bx + c	Gdy znamy współczynniki a, b, c i chcemy obliczyć miejsca zerowe
kanoniczna	y = a (x - p)² + q	Gdy chcemy łatwo wyznaczyć wierzchołek paraboli
iloczynowa	y = a ( x - x₁ ) ( x - x ₂ )	Gdy znamy miejsca zerowe funkcji

Podsumowanie - co warto zapamiętać ??

Funkcja kwadratowa ma postać y = ax² + bx + c

Jej wykresem jest parabola, która może być skierowana w górę lub w dół.

Delta (Δ = b² − 4ac ) określa liczbę miejsc zerowych.

Wierzchołek wyznacza najwyższy lub najniższy punkt paraboli.

Funkcja kwadratowa ma trzy postacie: ogólną, kanoniczną i iloczynową

Postać ogólna: y = ax² + bx + c

Postać ogólna jest podstawową - łatwa do analizy delty

Postać kanoniczna: y = a (x - p)² + q

Postać kanoniczna wskazuje wierzchołek paraboli (p, q)

Postać iloczynowa: y = a ( x - x₁ ) ( x - x₂ )

Postać iloczynowa uwidacznia miejsca zerowe

Przykłady

Funkcja z dwoma miejscami zerowymi

Dana funkcja:

y = x²-5x + 6

Obliczamy deltę:

Δ=(-5)²-4 (1) (6) = 25 - 24 = 1

Obliczamy miejsca zerowe:

x₁ = (- (-5) - √1 ) / 2 (1) = 5 - 1 / 2 = 4/2 = 2
x₂ = (- (-5) + √1 ) / 2 (1) = 5 + 1 / 2 = 6/2 = 3

Obliczamy Wierzchołek:

x_w= - (-5) / 2 (1) = 5/2 = 2.5
y_w= -1 / 4 (1) = -1/4 = -0.25

Wyniki:

>Delta:
Δ = 1

>Miejsca zerowe to:
x₁ = 2 ; x₂ = 3

>wierzchołek ma wspułrzędne:
W = (2.5, -0.25)

Funkcja bez miejsc zerowych

Dana funkcja:

y = 2x² + 4x + 5

Obliczamy deltę:

Δ = 4² - 4 (2) (5) = 16 - 40 = -24

Nie liczymy miejsc zerowych, ponieważ Δ

Obliczamy Wierzchołek:

x_w= -4 / 2 (2) = -1
y_w= -(-24) / 4 (2) = 24/8 = 3

Wyniki:

>Delta:
Δ = -24

>Miejsca zerowe:
BRAK

>wierzchołek ma wspułrzędne:
W=( -1, 3 )

Przekształcanie postaci ogólnej do kanonicznej

Dana Funkcja:

y = 2x² - 4x + 3

Obliczamy współrzędne wierzchołka:

p = -( -4 ) / 2 (2) = 4/4 = 1

q = -( -4 )² + 4 (2) (3) / 4 (2) = -16 + 24 / 8 = 8/8 = 1

POtrzymana postać kanoniczna:

y = 2 ( x - 1 )² + 1

Przekształcanie postaci ogólbej do iloczynowej

Dana funkcja

y = x² - 5x + 6

Obliczamy miejsca zerowe:

Δ = (-5 )² - 4 (1) (6) = 25 - 24 = 1

x₁ = 5 - 1 / 2 = 2

x₂ = 5 + 1 / 2 = 3

Otrzymana postać iloczynowa:

y = ( x - 2 ) ( z - 3 )

Kalkulator funkcji kwadratowej

Podaj współczynniki:

a: b: c: